Question

已知直线l的方向向量为=（1，1），且过直线l₁：2x+y+1=0和直线l₂：x-2y+3=0的交点．
（1）求直线l的方程；
（2）若点P（x，y）是曲线y=x²-lnx上任意一点，求点P到直线l的距离的最小值．

Answer

（1）先求出两直线的交点，然后根据 直线的方向向量可求直线的斜率，即可求解直线方程
（2）当曲线上过点P的切线和直线y=x+2平行时，点P到直线y=x-2的距离最小．求出曲线对应的函数的导数，令导数值等于1，可得且点的坐标，此切点到直线y=x-2的距离即为所求．
【解析】
（1）由可得
由题意可得，直线l的斜率k=1，且过（-1，1）
∴直线l的方程为y-1=x+1即x-y+2=0
（2）当过点P的切线和直线y=x+2平行时，点P到直线y=x+2的距离最小．
由题意可得，y′=2x-=1，
∴x=1，或 x=-（舍去）
故曲线y=x2-lnx上和直线y=x+2平行的切线经过的切点坐标（1，1），
点（1，1）到直线y=x+2的距离d==
故点P到直线y=x-2的最小距离为