Question

已知函数f（x）=ln（2ax+1）+-x²-2ax（a∈R）．
（1）当a=时，求函数f（x）的极值点；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）把a=代入函数f（x），再对其进行求导，从而求出函数f（x）的极值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，可以对其进行求导，将问题转化为f′（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，从而求解；
【解析】
（1）a=，函数．
∴f（x）=ln（x+1）+-x2-x，
∴f′（x）=+x2-2x-1，可以得f′（x）=0，可得
x（x2-x-3）=0，解得x=0，x1=，x2=，
∴函数f（x）有两个极小值点：x1=，x2=，
函数f（x）有一个极小值点：x=0；
（2）y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，
可以令f′（x）=+x2-2x-2a≥0在x≥3上恒大于0，
∴f′（x）==，
∴当x≥3时，可得f″（x）＞0，
f′（x）在[3，+∞）上是增函数，
∴f′（x）≥f′（3）≥0，
∴+9-6-2a≥0，
解得，≤a≤；
又由2ax+1＞0且x≥3，可得a＞0，
故a的取值范围是0＜a≤．