Question

设f（x）和g（x）是定义在R上的两个函数，x₁、x₂是R上任意两个不等的实根，设|f（x₁）+f（x₂）|≥|g（x₁）+g（x₂）|恒成立，且y=f（x）为奇函数，判断函数y=g（x）的奇偶性并说明理由．

Answer

由y=f（x）为奇函数，令x1=x，x2=-x代入不等式可求得g（x）+g（-x）=0，根据奇偶函数的定义即可作出判断．
【解析】
函数y=g（x）为奇函数，以下证明：
令x1=x，x2=-x，
则|f（x1）+f（x2）|≥|g（x1）+g（x2）|即为|f（x）+f（-x）|≥|g（x）+g（-x）|，
又由已知y=f（x）为奇函数，故f（x）+f（-x）=0，
所以|g（x）+g（-x）|≤0，可知g（x）+g（-x）=0对任意的x都成立，
又g（x）是定义在R上的函数，定义域关于原点对称，
所以y=g（x）为奇函数．