Question

已知等差数列{a_n}的公差大于0，且a₃，a₅是方程x²-14x+45=0的两根，数列{b_n}的前n项的和为S_n，且S_n=（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）记c_n=a_n•b_n，求证：c_n+1＜c_n
（3）求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）根据等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2-14x+45=0的两根，确定数列{an}的公差，可得数列的通项；再写一式，两式相减，可得}，{bn}的通项公式；
（2）利用作差法，即可证得结论；
（3）利用错位相减法，可求数列{cn}的前n项和Tn．
（1）【解析】
∵等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2-14x+45=0的两根，
∴a3=5，a5=9，∴=2
∴an=a5+2（n-5）=2n-1
∵Sn=，∴n≥2时，bn=Sn-Sn-1=，∴
∵n=1时，b1=S1=，∴b1=
∴bn=•=；
（2）证明：由（1）知cn=an•bn=
∴cn+1-cn=-=≤0
∴cn+1＜cn
（3）【解析】
Tn=++…+
∴Tn=+…++
两式相减可得：Tn=++…+-=
∴Tn=．