Question

已知函数f（x）=，g（x）=aln x，a∈R．
（1）设h（x）=f（x）-g（x），当h（x）存在最小值时，求最小值φ（a）的解析式；
（2）对于（1）中的φ（a），证明当a∈（0，+∞）时，φ（a）≤1．

Answer

（1）表示出h（x），求导数h′（x），利用导数求函数h（x）的单调区间及极值，从而可得其最小值，注意对a进行讨论；
（2）用导数求出φ（a）在（0，+∞）上的最大值即可．
【解析】
（1）由条件知h（x）=-aln x（x＞0）．
∴h′（x）=-=．
①当a＞0时，令h′（x）=0，解得x=4a2，
∴当0＜x＜4a2时，h′（x）＜0，h（x）在（0，4a2）上递减；
当x＞4a2时，h′（x）＞0，h（x）在（4a2，+∞）上递增．
∴x=4a2是h（x）在（0，+∞）上的唯一极值点，
且是极小值点，从而也是h（x）的最小值点．
∴最小值φ（a）=h（4a2）=2a-aln 4a2=2a（1-ln 2a）．
②当a≤0时，h′（x）=＞0，h（x）在（0，+∞）上递增，无最小值．
故h（x）的最小值为φ（a）=2a（1-ln 2a）（a＞0）．
（2）由（1）知φ（a）=2a（1-ln 2a），（a＞0）．
则φ′（a）=-2ln 2a，令φ′（a）=0，解得a=．
当0＜a＜时，φ′（a）＞0，∴φ（a）在（0，）上递增；
当a＞时，φ′（a）＜0，∴φ（a）在（，+∞）上递减．
∴φ（a）在a=处取得极大值φ（）=1，
∵φ（a）在（0，+∞）上有且只有一个极值点，
所以φ（）=1也是φ（a）的最大值．
∴当a∈（0，+∞）时，总有φ（a）≤1．