Question

如图所示，已知菱形ABCD的边长为2，AC∩BD=O．∠DAB=60°，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥D-ABC．

（1）求证：平面BOD⊥平面ABC；
（2）若三棱锥D-ABC的体积为，求BD的长．

Answer

（1）由ABCD是菱形，知DO⊥AC，BO⊥AC，由此能够证明面ABC⊥面BOD．
（2）由VD-ABC=AC•S△BOD=•S△BOD=•sin∠BOD=，能够推导出∠BOD=或，由此及彼能求出BD的长．
【解析】
（1）∵ABCD是菱形，∴DO⊥AC，（2分）
BO⊥AC，（4分）
BO∩DO=0，BO、DO⊂面BOD，AC⊂面BOD，
∴AC⊥面BOD，（5分）
∵AC⊂面ABC，∴面ABC⊥面BOD．（6分）
（2）VD-ABC=AC•S△BOD=•S△BOD
=•sin∠BOD=，
sin∠BOD=∠BOD=或（8分）
①若∠BOD=，BD2=BO2+DO2-2•BO•DO•cos=1+1-1=1，所以BD=1（10分）
②若∠BOD=，BD2=BO2+DO2-2•BO•DO•cos=1+1+1=3，所以BD=
综上，BD=1或．（12分）