Question

已知曲线C₁：y=ax²+b和曲线C₂：y=2blnx（a，b∈R）均与直线l：y=2x相切．
（1）求实数a、b的值；
（2）设直线x=t（t＞0）与曲线C₁，C₂及直线l分别相交于点M，N，P，记f（t）=|MP|-|NP|，求f（t）在区间（0，e]（e为自然对数的底）上的最大值．

Answer

（1）由题意及导数的几何含义可以先设出两个切点的坐标，利用条件建立a，b方程解出即可；
（2）由题意直线x=t（t＞0）与曲线C1，C2及直线l分别相交于点M，N，P，可以联立直线方程与曲线方程及直线方程，求出M，N，P的坐标，利用两点间的距离公式得到
（t）=|MP|-|NP|的函数表达式，在有定义域求出值域即可．
【解析】
（1）设曲线C1，C2与直线l相切的切点分别是（t1，at12+b），（t2，2blnt2），
则，
对函数分别求导可得，y'=2at，
则⇒，
所以切线方程分别为：，y-2blnb=2（x-b），即为y=2x
所以
∴
（2）由（1）可得线C1：y=x2+e和曲线C2：y=2elnx，L；y=2x
由题意可以得到：，，
∴M（t，），N（t，2elnt），P（t，2t），
所以f（t）=|MP|-|NP|=，≥0在t∈（0，e]恒成立
所以函数f（t）在定义域上位单调递增函数，所以（f（t）max=f（e）=0．