Question

函数f（x）=x²-2ax+1，（a∈R），g（x）=x-1同时符合以下条件：
（1）任x∈R，f（x）或g（x）非负；
（2）存在x∈R，f（x）•g（x）＞0；
则实数α的范围是（ ）
A．（0，2）
B．[0，1]
C．（-1，2）
D．[-1，1]

Answer

由g（x）=x-1，知当x＜1 时，g（x）＜0；当x＞1时，g（x）＞0．由x＜1时，f（x）=x2-2ax+1=（x-a）2+1-a2≥0，能求出实数α的范围．
【解析】
∵g（x）=x-1，
∴当x＜1 时，g（x）＜0；当x＞1时，g（x）＞0．  
∵任x∈R，f（x）或g（x）非负，
∴x＜1时，f（x）=x2-2ax+1=（x-a）2+1-a2≥0，
①若1-a2≥0  即-1≤a≤1时，则f（x）在R上非负，成立；
②若1-a2＜0，即a＜-1或a＞1时，解得a-＞1，即a＜1．
又∵x充分大时，f（x）＞0，g（x）＞0
∴存在x∈R，f（x）•g（x）＞0．
综上，实数α的范围是[-1，1]．
故选D．