Question

选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为它与曲线C：（y-2）²-x²=1交于A、B两点．
（1）求|AB|的长；
（2）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P的极坐标为，求点P到线段AB中点M的距离．

Answer

（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2-12t-5=0，求出t1+t2和t1•t2，根据|AB|
=•|t1-t2|=5 ，运算求得结果．
（Ⅱ）根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为 =． 由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=•||，运算求得结果．
【解析】
（Ⅰ）把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得 7t2-12t-5=0，
设A，B对应的参数分别为 t1 和t2，则  t1+t2=，t1•t2 =-．     …（3分）
所以|AB|=•|t1-t2|=5 =． …（5分） 
（Ⅱ）易得点P在平面直角坐标系下的坐标为（-2，2），
根据中点坐标的性质可得AB中点M对应的参数为 =．   …（8分）
所以由t的几何意义可得点P到M的距离为|PM|=•||=．  …（10分）