Question

已知函数，且f（1）=log₁₆2，f（-2）=1．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）若数列x_n的项满足x_n=[1-f（1）]•[1-f（2）]•…•[1-f（n）]，试求x₁，x₂，x₃，x₄；
（3）猜想数列x_n的通项，并用数学归纳法证明．

Answer

（1）由已知中函数，且f（1）=log162，f（-2）=1．我们可以构造关于a，b的方程，解方程求出a，b的值，即得到函数f（x）的表达式；
（2）根据xn=[1-f（1）]•[1-f（2）]•…•[1-f（n）]，我们分别令n=1，2，3，4，即可法求出x1，x2，x3，x4；
（3）根据（2）中数列的前4项，分析他们之间呈现的规律，归纳推理后，即可得到数列xn的通项公式，然后利用数学归纳法，即可证明结论．
【解析】
（1）∵，且f（1）=log162，f（-2）=1．
∴=log162=，=1
解得：
∴函数
（2）由（1）中
∴xn=[1-f（1）]•[1-f（2）]•…•[1-f（n）]，
当n=1时，．
当n=2时，，
当n=3时，，
当n=4时，
（3）由（2）中结论我们易得：．
当n=1时，结论显然成立
设n=k时，结论成立，即
则当n=k+1时，==
即n=k+1时，结论也成立．
故．