Question

设D是函数y=f（x）定义域内的一个区间，若存在x∈D，使f（x）=-x，则称x是f（X）的一个“次不动点”，也称f（x）在区间D上存在次不动点．若函数f（x）=ax²-3x-a+在区间[1，4]上存在次不动点，则实数a的取值范围是    ．

Answer

根据“f（x）在区间D上有次不动点”当且仅当“F（x）=f（x）+x在区间D上有零点”，依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2-2x-a+=0，讨论将a分离出来，利用导数研究出等式另一侧函数的取值范围即可求出a的范围．
【解析】
依题意，存在x∈[1，4]，使F（x）=f（x）+x=ax2-2x-a+=0，
当x=1时，使F（1）=≠0（6分）；
当x≠1时，解得a=（8分），
由a′==0（9分），
得x=2或x=（ ＜1，舍去）（10分），

x （1，2） 2 （2，4）
a′ + -
a ↗ 最大值 ↘

（12分），当x=2时，a最大==（13分），
所以常数a的取值范围是（-∞，]（14分）．
故答案为：（-∞，]．