Question

下列曲线的所有切线构成的集合中，存在无数对互相垂直的切线的曲线是（ ）
A．f（x）=e^x
B．f（x）=x³
C．f（x）=ln
D．f（x）=sin

Answer

设出切点坐标，利用曲线在切点处的导数值是曲线的切线斜率，将存在无数对互相垂直的切线转化为f′（x1）•f′（x2）=-1有无数对x1，x2使之成立；对四个选项的函数判断是否符合．
【解析】
设切点的横坐标为x1，x2
则存在无数对互相垂直的切线，即f′（x1）•f′（x2）=-1有无数对x1，x2使之成立
对于A由f′（x）=ex＞0，
所以不存在f′（x1）•f′（x2）=-1成立；
对于B由于f′（x）=3x2＞0，
所以也不存在f′（x1）•f′（x2）=-1成立；
对于C由于f（x）=lnx的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=＞0，
对于Df′（x）=cosx，
∴f′（x1）•f′（x2）=cosx1•cosx2，
当x1=2kπ，x2=（2k+1）π，k∈Z，
f′（x1）•f′（x2）=-1恒成立．
故选D