Question

已知数列{a_n}，a₁=m，m∈N^*，，若a₁=2013，则a₂₀₁₃=    ；若{a_n}中有且只有5个不同的数字，则m的不同取值共有    个．

Answer

由a1=2013，，足够多的次数后，项的值永远为1，用逆推法求解；m=1时，{an}中只有1个不同的数字，各项为1；m=2时，{an}中只有2个不同的数字；m=3，或m=4 时，{an}中只有3个不同的数字；m=5或m=6，或m=7，m=8时，{an}中只有4个不同的数字，当m=9到16时，{an}中有且只有5个不同的数字；当n≥17时，{an}中有6个或6个以上不同的数字．
【解析】
①∵a1=2013，，
∴=1007，=504，=252，
=126，=63，=32，=16，
a9==8，a10==4，a11==2，a12==1，a13=，
∴当n≥12时，an=1．
∴a2013=1．
②当m=1时，a1=1，，…，an=1，
则{an}中只有1个不同的数字1，不成立，故m≠1；
当m=2时，a1=2，，…，an=1（n≥2），
则{an}中只有2个不同的数字2和1，不成立，故m≠2；
当m=3时，a1=3，a2==2，，…an=1（n≥3），
则{an}中只有3个不同的数字1，2，3，不成立，故m≠3；
当m=4时，a1=4，a2==2，，…，an=1（n≥3），
则{an}中只有3个不同的数字1，2，4，不成立，故m≠4；
当m=5时，a1=5，a2==3，=2，=1，…，an=1（n≥4），
则{an}中有4个不同的数字1，2，3，5，不成立，故m≠5；
当m=6时，a1=6，a2==3，=2，=1，…，an=1（n≥4），
则{an}中有4个不同的数字1，2，3，6，不成立，故m≠6；
当m=7时，a1=7，a2==4，a3==2，=1，…，an=1（n≥4），
则{an}中有4个不同的数字1，2，4，7，不成立，故m≠7；
当m=8时，a1=8，a2==4，a3==2，=1，…，an=1（n≥4），
则{an}中有4个不同的数字1，2，4，8，不成立，故m≠8；
当m=9时，a1=9，a2==5，a3==3，a4==2，a5==1，…，an=1（n≥5），
则{an}中有5个不同的数字1，2，3，5，9，成立，故m=9；
当m=10时，a1=10，a2==5，a3==3，a4==2，a5==1，…，an=1（n≥5），
则{an}中有5个不同的数字1，2，3，5，10，成立，故m=10；
当m=11时，a1=11，a2==6，a3==3，a4==2，a5==1，…an=1（n≥5），
则{an}中有5个不同的数字1，2，3，6，11，成立，故m=11；
当m=12时，a1=12，a2==6，a3==3，a4==2，a5==1，…，an=1（n≥5），
则{an}中有5个不同的数字1，2，3，6，12，成立，故m=12；
当m=13时，a1=13，a2==7，a3==4，a4==2，a5==1，…，an=1（n≥5），
则{an}中有5个不同的数字1，2，4，7，13，成立，故m=13；
当m=14时，a1=14，a2==7，a3==4，a4==2，a5==1，…，an=1（n≥5），
则{an}中有5个不同的数字1，2，4，7，14，成立，故m=14；
当m=15时，a1=15，a2==8，a3==4，a4==2，a5==1，…，an=1（n≥5），
则{an}中有5个不同的数字1，2，4，8，15，成立，故m=15；
当m=16时，a1=16，a2==8，a3==4，a4==2，a5==1，…，an=1（n≥5），
则{an}中有5个不同的数字1，2，4，8，16，成立，故m=16；
当m=17时，a1=17，a2==9，a3==5，a4==3，a5==2，=1…，an=1（n≥6），
则{an}中有6个不同的数字1，2，3，5，9，17，不成立，故m≠17；
当n≥17时，{an}中有6个或6个以上不同的数字．
∴m的不同取值共有8个．
故答案为：1，8．