Question

在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离Anmile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A2nmile的C处的缉私船奉命以nmile/h的速度追截走私船，此时，走私船正以10nmile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜．
（1）求线段BC的长度；
（2）求∠ACB的大小；
（参考数值：）
（3）问缉私船沿北偏西多少度的方向能最快追上走私船？

Answer

（1）在△ABC中，∠CAB=120°由余弦定理可求得线段BC的长度；
（2）在△ABC中，由正弦定理，可求得sin∠ACB；
（3）设缉私船用t h在D处追上走私船，CD=10t，BD=10t，在△ABC中，可求得∠CBD=120°，再在△BCD中，由正弦定理可求得sin∠BCD，从而可求得答案．
【解析】
（1）在△ABC中，∠CAB=45°+75°=120°，…（1分）
由余弦定理，得BC2=AB2+AC2-2AB•ACcos∠CAB…（2分）
=+22-2×（-1）×2×（-）=6，…（3分）
所以，BC=．…（4分）
（2）在△ABC中，由正弦定理，得=，
所以，sin∠ACB=…（6分）
==．…（7分）
又∵0°＜∠ACB＜60°，
∴∠ACB=15°．…（8分）
（3）设缉私船用t h在D处追上走私船，如图，
则有CD=10t，BD=10t．
在△ABC中，
又∠CBD=90°+30°=120°，
在△BCD中，由正弦定理，得
sin∠BCD= …（8分）
==．…（10分）
∴∠BCD=30°，
又因为∠ACB=15°…（12分）
所以180-（∠BCD+∠ACB+75°）=180°-（30°+15°+75°）=60°
即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．…（14分）