Question

已知圆C：x²+y²+x-6y+m=0与直线l：x+2y-3=0．
（1）若直线l与圆C没有公共点，求m的取值范围；
（2）若直线l与圆C相交于P、Q两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．

Answer

（1）找出圆心坐标与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线l的距离d，根据直线l与圆没有公共点得到直线l与圆外离，即d大于r列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；
（2）根据题意得出直线OP与直线OQ垂直，即斜率乘积为-1，设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线l方程与圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系表示出两根之和与两根之积，根据斜率乘积为-1列出关于m的方程，求出方程的解即可得到m的值．
【解析】
（1）将圆的方程化为标准方程得：（x+）2+（y-3）2=9-m，
∴圆心C（-，3），半径r2=9-m＞0，即m＜，
∵圆心C到直线l的距离d2=，直线l与圆C没有公共点
∴9-m＜，即m＞8，
则m的范围为（8，）；
（2）根据题意得：△OQP为直角三角形，即OP⊥OQ，
将直线l与圆方程联立消去y得到：5x2+10x+4m-27=0，
设P（x1，y1），Q（x2，y2），
∴x1+x2=-2，x1x2=，y1y2=•==，
∵x1x2+y1y2=0，
∴+=-1，
解得：m=3．