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正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E、F分别是AC和BC边的中点,现将△...

正△ABC的边长为4,CD是AB边上的高,E、F分别是AC和BC边的中点,现将△ABC沿CD翻折成直二面角A-DC-B
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(Ⅰ)试判断直线AB与平面DEF的位置关系,并说明理由;
(Ⅱ)求二面角E-DF-C的余弦值;
(Ⅲ)在线段BC上是否存在一点P,使AP⊥DE?证明你的结论.
法一(1)要证明线面平行,关键是在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线,观察到平面BEF中三条已知直线中,EF可能与AB平行,故可以以此为切入点进行证明. (2)要求二面角的余弦,要先构造出二面角的平面角,然后利用解三角形的方法,求出这个平面角的余弦值,进而给出二面角的余弦值. (3)线线垂直可由线面垂直的性质推得,直线和平面垂直,这条直线就垂直于平面内所有直线,这是寻找线线垂直的重要依据.垂直问题的证明,其一般规律是“由已知想性质,由求证想判定”,也就是说,根据已知条件去思考有关的性质定理;根据要求证的结论去思考有关的判定定理,往往需要将分析与综合的思路结合起来. 法二,根据题意,构造空间直角坐标系,求出各点的坐标,进行求出相应直线的方向向量和平面的法向量,利用向量法进行求解(1)利用直线的方向向量与平面的法向量之间的关系,判断线面关系, (2)通过求两个平面法向量的夹角求二面角. 【解析】 法一:(I)如图:在△ABC中,由E、F分别是AC、BC中点,得EF∥AB, 又AB⊄平面DEF,EF⊂平面DEF.∴AB∥平面DEF. (II)∵AD⊥CD,BD⊥CD∴∠ADB是二面角A-CD-B的平面角 ∴AD⊥BD∴AD⊥平面BCD 取CD的中点M,这时EM∥AD∴EM⊥平面BCD 过M作MN⊥DF于点N,连接EN,则EN⊥DF ∴∠MNE是二面角E-DF-C的平面角 在Rt△EMN中,EM=1,MN= ∴tan∠MNE=,cos∠MNE=. (Ⅲ)在线段BC上存在点P,使AP⊥DE 证明如下:在线段BC上取点P.使,过P作PQ⊥CD与点Q, ∴PQ⊥平面ACD∵在等边△ADE中,∠DAQ=30° ∴AQ⊥DE∴AP⊥DE. 法二:(Ⅱ)以点D为坐标原点,直线DB、DC为x轴、y轴,建立空间直角坐标系, 则A(0,0,2)B(2,0,0)C(0, 平面CDF的法向量为设平面EDF的法向量为 则即 所以二面角E-DF-C的余弦值为 (Ⅲ)在平面坐标系xDy中,直线BC的方程为 设 ∴ 所以在线段BC上存在点P,使AP⊥DE 另【解析】 设 又 ∵ 把代入上式得, ∴所以在线段BC上存在点P使AP⊥DE
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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