Question

如图，椭圆的标准方程为，P为椭圆上的一点，且满足PF₁⊥PF₂，
（1）求三角形PF₁F₂的面积．
（2）若此椭圆长轴为8，离心率为，求点P的坐标．

Answer

（1）利用直角三角形的勾股定理及椭圆的定义得到关于|PF1|，|PF2|的方程，求出|PF1|•|PF2|的值，利用直角三角形的面积公式求出△PF1F2的面积．
（2）由题知：a=4，得出椭圆的标准方程，再根据PF⊥PF2得到P为以F1F2为直径的圆上，两者结合组成方程组求解即可得点P的坐标．
【解析】
（1）根据椭圆的定义，得|PF1|+|PF2|=2a，平方得|PF1|2+2|PF1||PF2|+|PF2|2=4a2
又PF⊥PF2∴|PF1|2+|PF2|2=4c2
∴|PF1||PF2|=2b2
∴S=|PF1||PF2|=b2…7′．
（2）由a=4，=得b2=4  ….9′
∴椭圆的标准方程为+=1  …..10′
由PF⊥PF2∴P为以F1F2为直径的圆上．….13′
+=1  ①x2+y2=12  ②
联列方程组 得x=y=±
∴点P的坐标：P1（，）   P2（-，）  
 P3（-，-）    P4（，-）….15′