Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1；a_n+1-a_n=1，n∈N^*，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n+b_n=2，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）数列{c_n}满足，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）由已知中a1=1；an+1-an=1，可得数列{an}为等差数列，首项为1，公差为1，进而得到数列{an}的通项公式；结合Sn+bn=2，可得Sn+1+bn+1=2，两式相减后整理可得=，即数列{bn}为公比为等比数列，根据S1+b1=2求出首项后，可得数列{bn}的通项公式；
（2）根据，结合（1）中结论，可得数列{cn}的通项公式，进而利用裂项相消法，可得数列{cn}的前n项和Tn．
【解析】
（1）由已知得数列{an}为等差数列，首项为1，公差为1．
∴数列{an}的通项公式为an=n…2分
∵Sn+bn=2，
∴Sn+1+bn+1=2，
两式相减得Sn+1-Sn+bn+1-bn=0，
即2bn+1-bn=0，
化简得=…4分
所以数列{bn}为等比数列，…5分
又S1+b1=2，
∴b1=1…6分
所以bn= …7分
（2）由（1）可得==-…10分
∴Tn=（-）+（-）+…+（-）=-= …12分．