Question

椭圆上任一点P到两焦点的距离的和为6，离心率为，A、B分别是椭圆的左右顶点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设C（x，y）（0＜x＜a）为椭圆上一动点，D为C关于y轴的对称点，四边形ABCD的面积为S（x），设f（x）=，求函数f（x）的最大值．

Answer

（1）利用P到两焦点的距离的和为6，离心率为，求出几何量，从而可求椭圆的标准方程；
（2）确定四边形ABCD的面积为S（x），可得f（x）=，利用导数知识，可求函数f（x）的最大值．
【解析】
（1）依题意，P到两焦点的距离的和为6，离心率为，
∴2a=6，e==，
∴a=3，c=2
∴=1
∴椭圆标准方程为；
（2）依题意，点D（-x，y）（0＜x＜3）
由点C在椭圆上得，且S（x）=
∴f（x）==（x+3）（）=（0＜x＜3）
∴f′（x）=-（x-1）（x+3）
令f′（x）＞0，则-3＜x＜1，
∵0＜x＜3，∴0＜x＜1，∴f（x）在（0，1）上单调递增；
令f′（x）＜0，则x＜-3或x＞1，
∵0＜x＜3，∴1＜x＜3，∴f（x）在（1，3）上单调递减，
∴f（x）在x=1处取得唯一的极大值，同时也是最大值，
∴f（x）max=f（1）=．