Question

如图，椭圆的中心在坐标原点，长轴端点为A、B，右焦点为F，且，．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点F作直线l₁，l₂，直线l₁与椭圆分别交于点M、N，直线l₂与椭圆分别交于点P、Q，且，求四边形MPNQ的面积S的最小值．

Answer

（Ⅰ）设椭圆的方程，利用，，确定几何量，从而可得椭圆的方程；
（Ⅱ）利用，确定l1⊥l2． 再分类讨论，分别计算四边形MPNQ的面积，利用基本不等式，可确定四边形形MPNQ的面积S的最小值．
【解析】
（Ⅰ）设椭圆的方程为（a＞b＞0），
则由题意知c=1，
又∵
∴（a+c）（a-c）=1=a2-c2
∴a2=2
∴b2=a2-c2=1，
故椭圆的方程为：；
（Ⅱ）设M（xM，yM），N（xN，yN），P（xP，yP），Q（xQ，yQ）．
则由题意：
整理得：（xN-xM）（xP-xQ）+（yN-yM）（yP-yQ）=0．
所以l1⊥l2． 
①若直线l1，l2中有一条斜率不存在，不妨设l2的斜率不存在，则可得l2⊥x轴，
∴|MN|=2，|PQ|=，
故四边形MPNQ的面积S=．
②若直线l1，l2的斜率存在，设直线l1的方程：y=k（x-1）（k≠0），则
代入椭圆方程，消去y可得（2k2+1）x2-4k2x+2k2-2=0．
设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=．
∴|MN|===
同理可求得，|PQ|=．
故四边形MPNQ的面积：S==≥
当且仅当k=±1时，取“=”．
综上，四边形形MPNQ的面积S的最小值为．