Question

已知椭圆（a＞b＞0）上的一动点P到右焦点的最短距离为，且右焦点到右准线的距离等于短半轴的长．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P（4，0），A，B是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连接PB交椭圆C于另一点E，证明直线AE与x轴相交于定点Q；
（3）在（2）的条件下，过点Q的直线与椭圆C交于M，N两点，求的取值范围．

Answer

（1）利用椭圆的定义和性质即可解出a、b、c；
（2）利用点斜式方程得出直线PB的方程，与椭圆的方程联立，利用根与系数之间的关系得出点P、B的坐标之间的关系，再利用点斜式表示直线AE的方程，进而即可证明过定点；
（3）分类讨论直线MN是否与x轴垂直，与椭圆方程联立得出点MN的坐标之间的关系，再表示出，进而即可求出其取值范围．
【解析】
（1）由题意可得解得，
∴椭圆C的方程为；
（2）如图所示：
设直线PB的方程为y=k（x-4），B（x1，y1），E（x2，y2），
则A（x1，-y1）．
联立，
消去y化为方程（1+2k2）x2-16k2x+32k2-4=0，
∵直线PB与椭圆有两个不同的交点，
∴△=（16k2）2-4（1+2k2）（32k2-4）＞0．（*）
x1+x2=，．
直线AE的方程为，
令y=0，则====．
故直线AE过定点Q（1，0）．
（3）①当直线MN与x轴重合时，=（2，0）•（-2，0）=-4；
②当直线MN与x轴不重合时，设直线MN的方程为my=x-1，
联立消去x化为方程（2+m2）y2+2my-3=0，可知△＞0．
可得yM+yN=，yMyN=．
∴=xMxN+yMyN=（myM+1）（myN+1）+yMyN=（1+m2）yMyN+m（yM+yN）+1
==-4+，
∵m2≥0，∴，∴，
∴的取值范围是．
综上可知：的取值范围是．