Question

设f（k）表示区间[2^k-1，2^k]（k∈N^*）上自然数的个数，S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）．
（1）求S_n的表达式；（2）设P_n=n²+n-1（n∈N^*），试比较S_n与P_n的大小，并说明理由．

Answer

（1）由题意知f（k）=2k-2k-1+1=2k-1+1，然后利用等比数列的求和公式解之即可求出Sn的表达式；
（2）因为Sn-Pn=2n-n2．当n=1时，S1-P1＞0；当n=2时，S2-P2=0，当n=3时，S3-P3＜0；当n=4时，S4-P4=0；当n=5时，S5-P5＞0；当n=6时，S6-P6＞0；故猜想：当n≥5时，都有Sn＞Pn，然后利用数学归纳法进行证明即可．
【解析】
（1）由题意知f（k）=2k-2k-1+1=2k-1+1，
所以Sn=f（1）+f（2）+…+f（n）=（2+1）+（21+1）+…+（2n-1+1）=2n+n-1
（2）因为Sn-Pn=2n-n2．当n=1时，S1-P1＞0；当n=2时，S2-P2=0；
当n=3时，S3-P3＜0；当n=4时，S4-P4=0；当n=5时，S5-P5＞0；当n=6时，S6-P6＞0；故猜想：当n≥5时，都有Sn＞Pn．
①当n=5时，已证S5-P5＞0，所以结论成立；
②假设当n=k（k≥5）时，结论成立，即Sk＞Pk即2k＞k2，
那么当n=k+1时，Sk+1-Pk+1=2k+1-（k+1）2=2•2k-（k+1）2＞2k2-（k+1）2=k2-2k-1=（k-1）2-2
当k≥5时，（k-1）2-2＞0恒成立，则2k+1＞（k+1）2，所以当n=k+1时，结论也成立．
由①②知，当n≥5时，都有Sn＞Pn．