Question

已知离心率为的椭圆C：=1（a＞b＞o）过点M（2，1），O为坐标原点，平行于OM的直线l交椭圆于C不同的两点A，B．
（1）求椭圆的C方程．
（2）证明：若直线MA，MB的斜率分别为k₁、k₂，求证：k₁+k₂=0．

Answer

（1）由给出的椭圆的离心率、椭圆过定点M（2，1）及隐含条件a2=b2+c2列方程组可求a2，b2，则椭圆方程可求；
（2）设出直线l的方程，设出A，B两点的坐标，把直线和椭圆联立后可求A，B两点的横坐标的和与积，把直线MA，MB的斜率k1、k2分别用A，B两点的坐标表示，把纵坐标转化为横坐标后，则k1+k2仅含A，B两点的横坐标的和与积，化简整理即可得到结论．
（1）【解析】
设椭圆C的方程为：．
由题意得：，
把①代入②得：a2=4b2④．
联立③④得：a2=8，b2=2．
∴椭圆方程为．
（2）证明：∵M（2，1），∴
又∵直线l∥OM，可设，将式子代入椭圆C得：，
整理得：x2+2mx+2m2-4=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-2m，．
设直线MA、MB的斜率分别为k1、k2，则，．
下面只需证明：k1+k2=0，
事实上，
=
=
=
=
=
=0．