Question

设抛物线y²=2px （p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴．证明直线AC经过原点O．

Answer

先求出抛物线的焦点坐标，然后得到经过点F的直线的方程后代入到抛物线中消去x得到关于y的一元二次方程，进而得到两根之积，根据BC∥x轴与点c在准线上可求得c的坐标，进而可表示出直线CO的斜率，同时可得到k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．
得证．
证明：如图因为抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F（，0），
所以经过点F的直线的方程可设为；
代入抛物线方程得y2-2pmy-p2=0，
若记A（x1，y1），B（x2，y2），则y1，y2是该方程的两个根，
所以y1y2=-p2．
因为BC∥x轴，且点c在准线x=-上，
所以点c的坐标为（-，y2），
故直线CO的斜率为．
即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O．