Question

设函数f（x）=x²e^x-1+ax³+bx²（其中e是自然对数的底数），已知x=-2和x=1为函数f（x）的极值点．
（Ⅰ）求实数a和b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）是否存在实数M，使方程f（x）=M有4个不同的实数根？若存在，求出实数M的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）求导函数，利用x=-2和x=1为函数f（x）的极值点，可得导数值为0，即可方程，即可求实数a和b的值；
（Ⅱ）由导数的正负，即可确定函数的单调性；
（Ⅲ）确定函数的极大值与极小值，即可知使方程f（x）=M有4个根的M取值范围．
【解析】
（Ⅰ）求导函数，可得f′（x）=（x2+2x）ex-1+3ax2+2bx，…（1分）
∵x=-2和x=1为函数f（x）的极值点，
∴f′（-2）=f′（1）=0，…（2分）
即，解得，…（3分）
所以，，b=-1．…（4分）
（Ⅱ）∵，b=-1，∴f′（x）=（x2+2x）ex-1-x2-2x=（x2+2x）（ex-1-1），…（5分）
令f′（x）=0，解得x1=-2，x2=0，x3=1，…（6分）
∵令f′（x）＜0，可得x∈（-∞，-2）∪（0，1），令f′（x）＞0，可得x∈（-2，0）∪（1，+∞），…（8分）
∴f（x）在区间（-2，0）和（1，+∞）上是单调递增的，在区间（-∞，-2）和（0，1）上是单调递减的．…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，由（Ⅱ）得函数的极大值为f（x）极大值=f（0）=0，…（10分）
函数的极小值为f（x）极小值=f（-2）=，和f（x）极小值=f（1）=-   …（11分）
又，…（12分）
f（-3）=（-3）2e-4+9-9=9e-4＞0，f（3）=32e2-9-9=9（e2-2）＞0，…（13分）
通过上面的分析可知，当M∈时方程f（x）=M恰有4个不等的实数根．
所以存在实数M，使方程f（x）=M有4个根，其M取值范围为．…（14分）