Question

设函数f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）求k值；
（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的t的取值范围；
（3）若f（1）=，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值．

Answer

（1）根据奇函数的性质可得f（0）=0，由此求得k值．
（2）由f（x）=ax-a-x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上单调递减，不等式化为f（x2+tx）＜f（x-4），即 x2+（t-1）x+4＞0 恒成立，由＜0求得t的取值范围．
（3）由f（1）=求得a的值，可得 g（x）的解析式，令t=f（x）=2x-2-x，可知f（x）=2x-2-x为增函数，t≥f（1），令h（t）=t2-2mt+2，（t≥），分类讨论求出h（t）的最小值，再由最小值等于2，求得m的值．
【解析】
（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，…（2分）
∴1-（k-1）=0，∴k=2．…（4分）
（2）∵函数f（x）=ax-a-x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＜0，∴a-＜0，又 a＞0，
∴1＞a＞0．…（6分）
由于y=ax单调递减，y=a-x单调递增，故f（x）在R上单调递减．
不等式化为f（x2+tx）＜f（x-4）．
∴x2+tx＞x-4，即  x2+（t-1）x+4＞0 恒成立，…（8分）
∴△=（t-1）2-16＜0，解得-3＜t＜5．…（10分）
（3）∵f（1）=，a-=，即2a2-3a-2=0，∴a=2，或 a=-（舍去）．…（12分）
∴g（x）=22x+2-2x-2m（2x-2-x）=（2x-2-x）2-2m（2x-2-x）+2．
令t=f（x）=2x-2-x，由（1）可知k=2，故f（x）=2x-2-x ，显然是增函数．
∵x≥1，∴t≥f（1）=，
令h（t）=t2-2mt+2=（t-m）2+2-m2 （t≥）…（15分）
若m≥，当t=m时，h（t）min=2-m2=-2，∴m=2…（16分）
若m＜，当t=时，h（t）min=-3m=-2，解得m=＞，舍去…（17分）
综上可知m=2．…（18分）