Question

已知点P是圆C：x²+y²=1外一点，设k₁，k₂分别是过点P的圆C两条切线的斜率．
（1）若点P坐标为（2，2），求k₁•k₂的值；
（2）若k₁•k₂=-1求点P的轨迹M的方程．

Answer

（1）设过点P的切线斜率为k，由P的坐标表示出切线方程，由此直线与圆相切，得到圆心到切线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于k的方程，利用韦达定理即可求出两根之积k1•k2的值；
（2）设点P坐标为（x，y），由两切线斜率的乘积为-1得到两切线垂直，|OP|的距离为半径的倍，利用两点间的距离公式即可表示出M的方程．
【解析】
（1）设过点P的切线斜率为k，方程为y-2=k（x-2），即kx-y-2k+2=0，
其与圆相切可得=1，
化简得3k2-8k+3=0，
∵k1，k2就是此方程的根，
∴k1•k2=1；
（2）设点P坐标为（x，y），
∵k1•k2=-1，
∴两条切线垂直，
∴|OP|=，即x2+y2=2，
则所求的曲线M的方程为圆x2+y2=2．