Question

在实数集R上定义运算⊗：x⊗y=（x+a）（1-y），若f（x）=x²，g（x）=x，若F（x）=f（x）⊗g（x）．
（1）求F（x）的解析式；
（2）若F（x）在R上是减函数，求实数a的取值范围；
（3）若，F（x）的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直，若存在，求出切线方程；若不存在，说明理由．

Answer

（1）由F（x）=f（x）⊗g（x）=（x2-a）（1-x），能求出F（x）的解析式．
（2）由F（x）=-x3+x2-ax+a，知F′（x）=-3x2+2x-a，由F（x）在R上是减函数，知△=4-12a≤0，由此能求出实数a的取值范围．
（3）a=时，F（x）=-x3+x2-+，设P（x1，y1），Q（，y2）是F（x）曲线上的任意两点，由题设条件能推导出=-1不成立，从而得到F（x）的曲线上不存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．
【解析】
（1）∵x⊗y=（x+a）（1-y），f（x）=x2，g（x）=x，
∴F（x）=f（x）⊗g（x）
=（x2-a）（1-x）
=-x3+x2-ax+a，
（2）∵F（x）=-x3+x2-ax+a，
∴F′（x）=-3x2+2x-a，
∵F（x）在R上是减函数，
∴△=4-12a≤0，解得a．
故实数a的取值范围是[，+∞）．
（3）a=时，F（x）=-x3+x2-+，
设P（x1，y1），Q（，y2）是F（x）曲线上的任意两点，
∵
=[3（x-）2+]＜0，
∴=[3（x1-）2+]•[3（（x2-）+]＞0，
∴=-1不成立，
∴F（x）的曲线上不存在两点，使得过这两点的切线互相垂直．