Question

己知f（x）=lnx-ax²-bx．
（1）若a=1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（2）当a=1，b=-1时，证明函数f（x）只有一个零点；
（3）若f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0）（x₁＜x₂）两点，AB中点为C（x，0），求证：f'（x）＜0．

Answer

（Ⅰ）依题意：f（x）=lnx+x2-bx，由f（x）在（0，+∞）上递增，知对x∈（0，+∞）恒成立，只需b≤（）min，由此能够求出b的取值范围．
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，f（x）=lnx-x2+x，其定义域是（0，+∞），故=-=-，由此能够证明函数f（x）只有一个零点．
（Ⅲ）由f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，知，故=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]，由此能够证明f'（x）＜0．
（Ⅰ）【解析】
依题意：f（x）=lnx+x2-bx，
∵f（x）在（0，+∞）上递增，∴对x∈（0，+∞）恒成立，
即b≤对x∈（0，+∞）恒成立，
∴只需b≤（）min，
∵x＞0，∴，
当且仅当x=时，取“=”号，
∴b≤2，
∴b的取值范围为（-∞，2]．…（4分）
（Ⅱ）证明：当a=1，b=-1时，f（x）=lnx-x2+x，其定义域是（0，+∞），
∴=-=-，
∵x＞0，∴0＜x＜1时，f′（x）＞0．
当x＞1时，f′（x）＜0．
∴函数f（x）在区间（0，1）上单调递增，在区间（1，+∞）上单调递减，
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值，其值为f（1）=ln1-12+1=0，
当x≠1时，f（x）＜f（1），即f（x）＜0，
∴函数f（x）只有一个零点．…（8分）
（Ⅲ）证明：∵f（x）的图象与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）两点，
∴，
∴，
两式相减，得
ln=a（x1+x2）（x1-x2）+b（x1-x2），
∴=（x1-x2）[a（x1+x2）+b]，
由及2x=x1+x2，得

=-[a（x1+x2）+b]
=-ln
=
=，
令，∅（t）=，0＜t＜1，
∵∅′（t）=-，
∴∅（t）在（0，1）上递减，∴∅（t）＞∅（1）=0，
∵x1＜x2，∴f'（x）＜0．