Question

已知函数f（x）在实数集R上具有下列性质：①f（x+1）是偶函数，②f（x+2）=-f（x），③当1≤x₁＜x₂≤3时，（f（x₂）-f（x₁））•（x₂-x₁）＜0，则f（2011）、f（2012）、f（2013）的大小关系为（ ）
A．f（2011）＞f（2012）＞f（2013）
B．f（2012）＞f（2011）＞f（2013）
C．f（2013）＞f（2011）＞f（2012）
D．f（2013）＞f（2012）＞f（2011）

Answer

由①得f（-x+1）=f（x+1）；由②可求得f（x）的周期；由③可判断f（x）在[1，3]上的单调性；运用函数周期性及f（-x+1）=f（x+1）可把f（2011）、f（2012）、f（2013）转化到区间[1，3]上处理，再利用单调性即可作出比较．
【解析】
由②得，f（x+4）=-f（x+2）=-[-f（x）]=f（x），所以f（x）为以4为周期的函数；
由③知：f（x）在[1，3]上为减函数；
由①得，f（-x+1）=f（x+1），
所以f（2011）=f（4×502+3）=f（3），f（2012）=f（4×503）=f（0）=f（-1+1）=f（1+1）=f（2），f（2013）=f（4×503+1）=f（1），
因为f（x）在[1，3]上为减函数，所以f（1）＞f（2）＞f（3），即f（2013）＞f（2012）＞f（2011），
故选D．