Question

如图，双曲线-=1（a，b＞0）的两顶点为A₁，A₂，虚轴两端点为B₁，B₂，两焦点为F₁，F₂．若以A₁A₂为直径的圆内切于菱形F₁B₁F₂B₂，切点分别为A，B，C，D．则：
（Ⅰ）双曲线的离心率e=    ；
（Ⅱ）菱形F₁B₁F₂B₂的面积S₁与矩形ABCD的面积S₂的比值=    ．

Answer

（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx-cy+bc=0，所以O到直线的距离为，根据以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，可得，由此可求双曲线的离心率；
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc，求出矩形ABCD的长与宽，从而求出面积S2=4mn=，由此可得结论．
【解析】
（Ⅰ）直线B2F1的方程为bx-cy+bc=0，所以O到直线的距离为
∵以A1A2为直径的圆内切于菱形F1B1F2B2，
∴
∴（c2-a2）c2=（2c2-a2）a2
∴c4-3a2c2+a4=0
∴e4-3e2+1=0
∵e＞1
∴e=
（Ⅱ）菱形F1B1F2B2的面积S1=2bc
设矩形ABCD，BC=2m，BA=2n，∴
∵m2+n2=a2，∴，
∴面积S2=4mn=
∴==
∵bc=a2=c2-b2
∴
∴=
故答案为：，