Question

（Ⅰ）求以点F₁（-2，0），F₂（2，0）分别为左右焦点，且经过点P（3，-2）的椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且经过点P（4，-）的双曲线的方程．

Answer

（I）由椭圆的焦点坐标为F1（-2，0），F2（2，0）可得椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为（a＞b＞0），将点P（3，-2）的坐标代入，可得椭圆的标准方程；
（Ⅱ）由于焦点坐标可能以x轴上，也可能在y轴上，故应分为两种情况，结合双曲线的离心率为，且经过点P（4，-）构造方程，解方程可得双曲线的方程．
【解析】
（I）设椭圆的标准方程为（a＞b＞0）
∵椭圆的焦点坐标为F1（-2，0），F2（2，0）
且经过点P（3，-2）
故
解得a2=36，b2=32
故椭圆的标准方程为
（II）∵双曲线的离心率为，
故双曲线为等轴双曲线，即a=b
若焦点在x轴上，可设双曲线的标准方程为
将点P（4，-）代入得a2=6
故双曲线的标准方程为
若焦点在y轴上，可设双曲线的标准方程为
将点P（4，-）代入得a2=-6（舍去）
综上双曲线的标准方程为