先画出函数f(t)的图象,得出f(t)=a的实数根的情况;再利用换元法,令t=2x2+x,进一步考查f(2x2+x)=a根的情况即可.
【解析】
(1)画出f(x)图象,
当x>0时,f(x)=,
当x≤0时,f(x)=x3+3≤3.于是可得:
①当2<a<3时,f(x)=a有3个根,一负二正;
②当a=3时,f(x)=a有3个根,一零二正;
③当3<a时,f(x)=a有2个正根;
④当a=2时,f(x)=a有一正一负根;
⑤当a<2时,f(x)=a只有一负根.
(2)令t=2x2+x=,则,
①当2<a<3时,f(t)=a有3个t使之成立,一负二正,两个正t分别对应2个x,
当t时,没有x与之对应,
当t=时,有1个x与之对应,
当t时,有2个x与之对应,∴根的个数分别为4、5、6个;
②当3<a时,f(t)=a有2个正根,两个正t分别对应2个x,此时根的个数为4个.
③由题目不必考虑a≤2的情形.
所以根的个数只可能为4、5、6个.
即方程f(2x2+x)=a的根的个数只可能为4、5、6个,不可能为3个.
故选A.