Question

对于函数f（x），如果存在函数g（x）=ax+b（a，b为常数），使得对于区间D上的任意实数x都有f（x）≤g（x）成立，则称g（x）为函数f（x）区间D上的一个“覆盖函数”．设f（x）=-2xlnx-x²，g（x）=-ax+3．若g（x）为函数f（x）在区间（0，+∞）上的一个“覆盖函数”，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，5]
B．（-∞，4]
C．[4，+∞）
D．[5，+∞）

Answer

由题意知f（x）≤g（x）即-2xlnx-x2≤-ax+3在区间（0，+∞）上恒成立，也即a≤2lnx+x+在区间（0，+∞）上恒成立，从而问题转化为求函数的最值问题解决．
【解析】
因为g（x）=-ax+3为函数f（x）=-2xlnx-x2 在区间（0，+∞）上的一个“覆盖函数”，
所以 f（x）≤g（x）即-2xlnx-x2≤-ax+3在区间（0，+∞）上恒成立，也即a≤2lnx+x+在区间（0，+∞）上恒成立，
令h（x）=2lnx+x+，则h′（x）=+1-=，
由h′（x）＜0得0＜x＜1，由h′（x）＞0得x＞1，
所以h（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
所以当x=1时h（x）取得最小值h（1）=4，
又a≤2lnx+x+在区间（0，+∞）上恒成立等价于a≤hmin（x），
所以a≤4．故a的取值范围为：（-∞，4]．
故选B．