Question

设二次方程，n∈N₊有两根α和β，且满足6α-2αβ+6β=3，a₁=1．
（1）证明：是等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设，n∈N₊，T_n为{c_n}的前n项和，证明：T_n＜2，（n∈N₊）．

Answer

（1）6α-2αβ+6β=3，即，可推出，n∈N+，由此能证明是等比数列，并能求出并求{an}的通项公式．
（2）由，知，由此利用错位相减法能证明：Tn＜2，（n∈N+）．
【解析】
（1）∵二次方程，n∈N+有两根α和β，
且满足6α-2αβ+6β=3，a1=1．
∴，
∴，n∈N+
，且
∴是以为首项，公比为的等比数列．
∴，
故．
（2）∵，，n∈N+，∴，
Tn=1×+2×（）2+3×（）3+…+n×（）n，
=1×（）2+2×（）3+3×（）4+…+n×（）n+1，
两式相减，得=+（）2+（）3+…+（）n-n×（）n+1
=1-（）n-n•（）n+1，
∴Tn=2--n•＜2．