Question

某居民小区有两个相互独立的安全防范系统（简称系统）A和B，系统A和B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．
（Ⅰ）若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
（Ⅱ）设系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望Eξ．

Answer

（Ⅰ）求出“至少有一个系统不发生故障”的对立事件的概率，利用至少有一个系统不发生故障的概率为，可求p的值；
（Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，求出相应的概率，可得ξ的分布列与数学期望．
【解析】
（Ⅰ）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，则
∴；
（Ⅱ）ξ的可能取值为0，1，2，3
P（ξ=0）=；P（ξ=1）=；
P（ξ=2）==；P（ξ=3）=；
∴ξ的分布列为
 ξ  0  1  2  3
 P        

数学期望Eξ=0×+1×+2×+3×=