Question

已知函数 f（x）=ax+1nx（a∈R）．
（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=l处切线的斜率．
（2）设 g（x）=x²-2x+2，若对任意x₁∈（0，+∞），均存在x₂∈[0，1]，使得f（x₁）＜g（x₂），求a的取值范围．

Answer

（1）由f（x）=ax+1nx（a∈R），知当a=2时，，x＞0，由此能求出曲线在x=1处切线的斜率．
（2）由g（x）=x2-2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），知f（x）max＜g（x）max，由此进行根据a的符号进行分类讨论，能求出a的取值范围．
【解析】
（1）∵f（x）=ax+1nx（a∈R），
∴当a=2时，，x＞0，
∴f′（1）=2+1=3，
故曲线在x=1处切线的斜率为3．
（2）∵g（x）=x2-2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），
∴f（x）max＜g（x）max，
∵g（x）=x2-2x+2=（x-1）2+1，x∈[0，1]，
∴g（x）max=2．
当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意；
当a＜0时，f（x）在（0，-）上单调递增，在（-，+∞）上单调递减，
故f（x）max=f（-）=-1+ln（-）=-1-ln（-a），
∴-1-ln（-a）＜2，
解得a＜-．
故a的取值范围是（-∞，-）．