Question

已知两圆x²+y²-2x+10y-24=0和 x²+y²+2x+2y-8=0
（1）判断两圆的位置关系；
（2）求公共弦所在的直线方程；
（3）求公共弦的长．

Answer

（1）将两圆化成标准方程，得到它们的圆心和半径，用两点距离公式求出圆心距，最后用圆心距离与两圆的半径和与差进行比较，即可得到两圆的位置关系；
（2）两圆的一般式方程相减，再化简整理得到x-2y+4=0，即为两圆公共弦所在直线的方程；
（3）求出第一个圆的圆心到直线x-2y+4=0的距离，再结合垂直于直径的弦的性质，即可得到两圆的公共弦长．
【解析】
（1）将两圆化为标准方程，得C1：（x-1）2+（y+5）2=50，C2：（x+1）2+（y+1）2=10
∴圆C1的圆心为（1，-5），半径为r1=5；圆C2的圆心为（-1，-1），半径为r2=…（4分）
又∵|C1C2|==2，r1+r2=5+，r1-r2=5-，
可得 r1-r2＜|C1C2|＜r1+r2…（5分）
∴两圆相交…（6分）
（2）将两圆的方程相减，得4x-8y+16=0，
化简得：x-2y+4=0，
∴公共弦所在直线的方程是x-2y+4=0．…（9分）
（3）由（2）知圆C1的圆心（1，-5）到直线x-2y+4=0的距离
d==3…（12分）
由此可得，公共弦的长l=2=2=2…（14分）