先讨论直线BC斜率不存在时,求出B,C的坐标,求出AB、AC斜率,求出kAB•kAC=-1,得到三角形ABC是直角三角形,当BC斜率存在时设出其方程,联立BC的方程与抛物线的方程,利用韦达定理,表示出AB、AC斜率,求出kAB•kAC=-1,得到三角形ABC是直角三角形.
【解析】
当BC斜率不存在时,方程为x=5,
代入抛物线方程y2=4x得
B,C
所以AB斜率是,
AC斜率是
所以kAB•kAC=-1,
所以AB与AC垂直,
所以三角形ABC是直角三角形当BC斜率存在时,显然不能为0,否则与抛物线只有一个公共点,
所以设方程为x-5=a(y+2)(a是斜率的倒数),
代入抛物线方程化简得y2-4ay-8a-20=0 设B(x1,y1),C(x2,y2),
则y1+y2=4a,y1y2=-8a-20 x1+x2=(ay1+2a+5)+(ay2+2a+5)=a(y1+y2)+4a+10=4a2+4a+10 x1x2=(ay1+2a+5)(ay2+2a+5)=4a2+20a+25
因为(y1-2)(y2-2)=y1y2-2(y1+y2)+4=-16a-16 (x1-1)(x2-1)=x1x2-(x1+x2)+1=16a+16 所以AB和AC斜率乘积等于-1,
即AB垂直于AC.综上可知,三角形ABC是直角三角形
故选A.