Question

如图，过抛物线y²=8x的焦点F的直线交抛物线与圆（x-2）²+y²=4于A，B，C，D四点，则|AB|•|CD|=    ．

Answer

由题设条件知，圆心即抛物线的焦点，结合图形可得出|AB|=|AF|-|BF|=xA，|CD|=|DF|-|CF|=xD，即|AB|•|CD|=xA×xD，再分直线AB的斜率存在与不存在两种情况讨论即可得出答案
【解析】
由题意，抛物线y2=8x的焦点F（2，0），圆（x-2）2+y2=4圆心为（2，0），即圆心为焦点
∴|AB|=|AF|-|BF|=xA，|CD|=|DF|-|CF|=xD
若直线AD与X轴垂直，此时xA=xD=2，故有|AB|•|CD|=xA×xD=4
若直线AD与X轴不垂直，此时斜率存在，可设为k，则有lAD：y=k（x-2）
代入抛物线y2=8x整理得k2x2-4（k2+2）+4k2=0
由根与系数的关系得xA×xD=4
综上知xA×xD=4，即|AB|•|CD|=4
故答案为4