Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形．已知．
（Ⅰ）证明AD⊥平面PAB；
（Ⅱ）求四棱锥P-ABCD的体积V；
（Ⅲ）设二面角P-BD-A的大小为θ，求cosθ的值．

Answer

（1）由底面ABCD是矩形，知AD⊥AB，由AD=PA=2，PD=2，知AD⊥PA，由此能证明AD⊥平面PAB．
（2）由AB=3，PA=2，PB=，知PA⊥AB，由AD⊥PA，知PA⊥平面ABCD，由此能求出四棱锥P-ABCD的体积．
（3）过点A作AO⊥BD，交BD于O，连接PO，则∠AOP就是θ，由此能求出cosθ．
【解析】
（1）∵底面ABCD是矩形，∴AD⊥AB，
∵AD=PA=2，PD=2，∴AD⊥PA，
∵AB∩PA=A，∴AD⊥平面PAB．
（2）∵AB=3，PA=2，PB=，∴PA⊥AB，
∵AD⊥PA，∴PA⊥平面ABCD，
∴四棱锥P-ABCD的体积
V=
==4．
（3）过点A作AO⊥BD，交BD于O，连接PO，
则∠AOP就是θ．
∵，
∴AO==，
∴PO==，
∴cosθ=cos∠AOP===．