Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求tan（A-B）的最大值，并判断当tan（A-B）取最大值时△ABC的形状．

Answer

（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式展开可求
（2）利用换元，结合基本不等式可求最大值取得的条件，从而可判断三角形的形状．
【解析】
（1）由可得2sinAcosB-2sinBcosA=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB⇒sinAcosB=3sinBcosA⇒=3（4分）
（2）设tanB=t，则tanA=3t且t＞0
tan（A-B）=（10分）
此时，故，△ABC为直角三角形（12分）