Question

如果一个数列的各项都是实数，且从第二项起，每一项与它的前一项的平方差是同一个常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
（Ⅰ）若数列{a_n}既是等方差数列，又是等差数列，求证：该数列是常数列；
（Ⅱ）已知数列{a_n}是首项为2，公方差为2的等方差数列，数列{b_n}的前n项和为S_n，且满足．若不等式对∀n∈N^*恒成立，求m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）依题，通过分解因式，利用{an}为等差数列，设公差为d，求出d=0，说明{an}是常数列．
（Ⅱ）通过为首项为4，公差为2的等差数列，求出，由得bn，利用错位相减法求出Sn，通过不等式，推出恒成立，由归纳法原理推出n≥4时，3k+1＜2k，求出m的取值范围为m≤3．
【解析】
（Ⅰ）依题
⇒（an+1-an）（an+1+an）=（an-an-1）（an+an-1）
又{an}为等差数列，设公差为d，
则
故{an}是常数列．（4分）
（Ⅱ）由{an}是首项为2，公方差为2的等方差数列．
即为首项为4，公差为2的等差数列，（6分）
由得         ①
  ②
（10分）
不等式即3•2n-（n+3）＞m•2n-4n-4也即（m-3）•2n＜3n+1，即恒成立
由于n=1，2，3时，3n+1＞2n；n=4时，3n+1＜2n；
假设n=k（k≥4）时，3k+1＜2k，
那么2k+1=2•2k＞2（3k+1）=3（k+1）+1+（3k-2）＞3（k+1）+1，
由归纳法原理知：n≥4时，3k+1＜2k，
所以⇒m-3≤0，
故m的取值范围为m≤3（14分）