Question

设函数y=f（x）在（a，b）上的导函数为f′（x），f′（x）在（a，b）上的导函数为f″（x），若在（a，b）上，f″（x）＜0恒成立，则称函数f（x）在（a，b）上为“凸函数”．已知．
（Ⅰ）若f（x）为区间（-1，3）上的“凸函数”，试确定实数m的值；
（Ⅱ）若当实数m满足|m|≤2时，函数f（x）在（a，b）上总为“凸函数”，求b-a的最大值．

Answer

（Ⅰ）函数在区间（-1，3）上为“凸函数”，所以f″（x）＜0，即对函数y=f（x）二次求导，转化为不等式问题解决即可；
（Ⅱ）利用函数总为“凸函数”，即f″（x）＜0恒成立，转化为不等式恒成立问题，讨论解不等式即可．
【解析】
由函数得，f″（x）=x2-mx-3（3分）
（Ⅰ）若f（x）为区间（-1，3）上的“凸函数”，则有f″（x）=x2-mx-3＜0在区间（-1，3）上恒成立，
由二次函数的图象，当且仅当，
即⇔m=2．（7分）
（Ⅱ）当|m|≤2时，f″（x）=x2-mx-3＜0恒成立⇔当|m|≤2时，mx＞x2-3恒成立．（8分）
当x=0时，f″（x）=-3＜0显然成立．（9分）
当x＞0，
∵m的最小值是-2．
∴．
从而解得0＜x＜1（11分）
当x＜0，
∵m的最大值是2，∴，
从而解得-1＜x＜0．（13分）
综上可得-1＜x＜1，从而（b-a）max=1-（-1）=2（14分）