Question

定义在R上的增函数y=f（x），对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求f（0）；
（2）判断f（x）的奇偶性并给予证明；
（3）若f（k3^x）+f（3^x-9^x-2）＜0，对任意的x∈R恒成立，求实数k的取值范围．

Answer

（1）令x=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）可构造一个关于f（0）的方程，解方程即可得到答案；
（2）令y=-x，f（x+y）=f（x）+f（y），可得到f（-x）与f（x）的关系，结合函数奇偶性的定义即可得到结论；
（3）由（2）中函数的奇偶性及已知中函数的单调性，可将不等式f（k3x）+f（3x-9x-2）＜0具体化，利用换元法，转化为一个关于k的二次不等式，解不等式即可得到k的取值范围．
【解析】
（1）令y=x=0得
f（0）=2f（0）
∴f（0）=0
（2）f（x）为奇函数，理由如下：
令y=-x得f（0）=f（x）+f（-x）
故f（-x）=-f（x）
又函数的定义域为R
∴f（x）为奇函数
（3）若f（k3x）+f（3x-9x-2）＜0
∴若f（k3x）＜-f（3x-9x-2）=f（-3x+9x+2）
又函数f（x）是R上的增函数
∴k3x＜-3x+9x+2
即（3x）2-（k-3）3x+2＞0
令t=3x，则t＞0
故已知条件可化为t2-（k-3）t+2＞0在（0，+∞）上恒成立
即
解得3-2＜0＜3+2
∴a的取值范围是（3-2，3+2）