Question

设数列{a_n}满足a₁=t，a₂=t²，且t≠0，前n项和为S_n，且S_n+2-（t+1）S_n+1+tS_n=0（n∈N^*）．
（1）证明数列{a_n}为等比数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）当＜t＜2时，比较2ⁿ+2^-n与tⁿ+t^-n的大小；
（3）若＜t＜2，b_n=，求证：++…+＜2ⁿ-．

Answer

（1）把给出的递推式展开后整理，得到an+2=tan+1，由给出的a1=t（t≠0），即可说明数列{an}是等比数列，则通项公式可求；
（2）直接作差后由t的范围可得差式的符号，则给出的两个代数式的大小得到比较；
（3）把（1）中求出的an的通项公式代入，整理后可得=（tn+t-n），不等式右侧放缩后利用等比数列求和公式可得结论．
（1）证明：由Sn+2-（t+1）Sn+1+tSn=0，
得tSn+1-tSn=Sn+2-Sn+1，即an+2=tan+1（n∈N*），
∴，
又a1=t（t≠0），a2=t2，∴，
∴数列{an}是以t为首项，t为公比的等比数列，
∴an=tn；
（2）【解析】
∵（tn+t-n）-（2n+2-n）
=
=
=（tn-2n）[1-（）n]．
又＜t＜2，∴＜＜1，
则tn-2n＜0且1-（）n＞0，
∴（tn-2n）[1-（）n]＜0，
∴tn+t-n＜2n+2-n．
（3）证明：∵=，
∴=（tn+t-n），
∴2（++…+）＜（2+22+…2n）+（2-1+2-2+…+2-n）
=
=2（2n-1）+1-2-n
=2n+1-（1+2-n）＜2n+1-2，
∴++…+＜2n-．