Question

已知定点F（2，0），动圆P经过点F且与直线x=-2相切，记动圆的圆心P的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程；
（Ⅱ）过点F作倾斜角为60°的直线l与轨迹C交于A（x₁，y₁）、B（x₁，y₂）两点，O为坐标原点，点M为轨迹C上一点，若向量，求λ的值．

Answer

（Ⅰ）根据动圆P经过点F且与直线x=-2相切，可得P到F的距离等于P到直线x=-2的距离，从而扩大圆心P的轨迹为以F（2，0）为焦点的抛物线，即可求得轨迹C的方程；
（Ⅱ）求出直线，代入抛物线方程，求出交点坐标，利用向量条件，可得M的坐标，结合点M为轨迹C上一点，即可求得结论．
【解析】
（Ⅰ）∵动圆P经过点F且与直线x=-2相切，
∴P到F的距离等于P到直线x=-2的距离
∴圆心P的轨迹为以F（2，0）为焦点的抛物线
∴轨迹C的方程为y2=8x；
（Ⅱ）设M（x，y），则直线l的方程为y=（x-2）
代入y2=8x得：3x2-20x+12=0
∴x1=，x2=6
∴y1=-，y2=4
∵，
∴x=x1+λx2，y=y1+λy2，
∴x=+6λ，y=-+4λ
∵点M为轨迹C上一点，∴y2=8x，
∴（-+4λ）2=8（+6λ）
∴3λ2-5λ=0
∴λ=或0．