Question

设函数f（x）=m-e^-nx（m，n∈R）
（1）若f（x）在点x=0处的切线方程为y=x，求m，n的值．
（2）在（1）条件下，设，求a的取值范围．

Answer

（1）利用f′（0）=1，f（0）=0即可求出；
（2）通过对a分类讨论，利用研究函数的单调性即可求出．
【解析】
（1）∵函数f（x）=m-e-nx，∴f′（x）=ne-nx，∴f′（0）=n=1，
当x=0时，y=0，∴切点为（0，0）．
∴f（0）=0=m-1，解得m=1．
∴m=n=1．
（2）①当a=0时，f（x）=1-e-x＜1与已知矛盾；
②当a＜0时，，x≥0，可变形为，
若，
此时，因此应舍去；
③当a＞0时，不等式等价转化为0，
令，则，
若，即a≥1时，h′（x）≥0，f（x）单调递增，
∴h（x）≥h（0）=0，∴恒成立；
若，即0＜a＜1时，令h′（x）=0，解得．
当时，，h′（x）＜0，h（x）单调递减，此时h（x）＜h（0）=0，与h（x）≥0矛盾．
综上所述：a的取值范围为{a|a≥1}．