Question

已知四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，侧棱与底面垂直，底面ABCD是菱形且∠BAD=60°，侧棱与底面边长均为2，则面AB₁C与底面A₁B₁C₁D₁，ABCD所成角的正弦值为（ ）
A．
B．2
C．
D．

Answer

题目是求二面角的正弦值问题，根据给出的四棱柱ABCD-A1B1C1D1是直四棱柱，且底面为菱形这两个条件，连接底面菱形的对角线相交于一点O，再连接B1O后即可得到要求的二面角的平面角，然后结合题目给出的角的大小及棱的长度，在直角三角形中可求得则面AB1C与底面A1B1C1D1所成二面角的正弦值．
【解析】
如图，四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，
∵侧棱与底面垂直，∴B1B⊥面ABCD，
∵AC⊂面ABCD，∴B1B⊥AC．
连接AC、BD，设AC∩BD=O，连接B1O，
∵ABCD是菱形，∴AC⊥BD，
∵B1B⊥AC，又BB1∩BD=B，
∴AC⊥面B1BD，
∵OB1⊂面B1BD，∴AC⊥OB1．
∴∠B1OB为二面角B1-AC-B的平面角，
即面AB1C与底面ABCD所成的角，
∵面A1B1C1D1∥面ABCD，
亦即为面AB1C与底面A1B1C1D1所成的角．
∵底面ABCD是菱形，且∠BAD=60°，∴∠BAO=30°，
在直角三角形AOB中，∵∠BAO=30°，AB=2，∴OB=1．
再在直角三角形OBB1中，∵OB=1，BB1=2，∴．
∴．
∴则面AB1C与底面A1B1C1D1，ABCD所成角的正弦值为．
故选D．