Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，E，F分别是AC，PB的中点．
（1）证明：EF∥平面PCD；
（2）求证：面PBD⊥面PAC；
（3）若PA=AB，求PD与平面PAC所成角的大小．

Answer

（1）如图连接BD，通过证明EF∥PD，证明EF∥平面PCD；
（2）证明BD⊥AC，PA⊥BD，证明BD⊥平面PAC，然后证明面PBD⊥面PAC；
（3）连接PE，说明∠EPD是PD与平面PAC所成的角．通过Rt△PAD≌Rt△BAD．在Rt△PED中，求出sin∠EPD的值，推出PD与平面PAC所成角的大小．
【解析】
（1）证明：如图连接BD，则E是BD的中点．
又F是PB的中点，所以EF∥PD，
因为EF不在平面PCD内，所以EF∥平面PCD；
（2）因为ABCD是正方形，所以BD⊥AC，
又PA⊥平面ABC，所以PA⊥BD，
因此BD⊥平面PAC，BD在平面PBD内，
故面PBD⊥面PAC；
（3）连接PE，由（2）可知BD⊥平面PAC，
故∠EPD是PD与平面PAC所成的角．
因为PA=AB=AD，∠PAD=∠BAD=90°，
所以Rt△PAD≌Rt△BAD．
因此PD=BD，在Rt△PED中sin∠EPD==，∠PAD=30°，
所以PD与平面PAC所成角的大小是30°．